n² + 6n - 16 est-il premier ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) supérieur ou égal à \(2\) .

Existe-t-il des valeurs de \(n\) telles que le nombre \(N=n^2+6n-16\) soit un nombre premier ?

Solution

Le discriminant du polynôme \(x^2+6x-16\) est \(\Delta=6^2-4 \times 1 \times (-16)=100\) .

Comme \(\Delta=100>0\) , ce polynôme possède deux racines réelles données par
\(\begin{align*}x_1=\frac{-6-\sqrt{100}}{2 \times 1}=\frac{-6-10}{2}=\frac{-16}{2}=-8\end{align*}\)  
et  \(\begin{align*}x_2=\frac{-6+\sqrt{100}}{2 \times 1}=\frac{-6+10}{2}=\frac{4}{2}=2\end{align*}\)  

et l'on en déduit que \(N=n^2+6n-16=(n+8)(n-2)\) .

Ainsi :

• si \(n=2\) , alors \(N=0\) n'est pas premier ;
• si \(n=3\) , alors \(N=(3+8)(3-2)=11 \times 1=11\) est premier ;
• si \(n \geqslant 4\) , alors \(N=(n+8)(n-2)\) est le produit de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à \(2\) , donc n'est pas premier.

Finalement, le seul entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\) tel que \(N\) soit premier est \(n=3\) .